В задачах 1.89 - 1.92 найти кинетическую энергию и
обобщенную силу
1.89. Оси цилиндров радиуса R соединены спарником.
Верхний цилиндр катится без проскальзывания по пластинке,
скользящей по вертикальной плоскости. Нижний цилиндр находится в
зацеплении с верхним и катится по горизонтальной поверхности. К
верхнему цилиндру массой m1 приложен момент M, масса спарника
m2. За обобщенную
координату принять угол поворота спарника j.
Решение
Кинетическая энергия первого тела:
T1 = |
1
2
|
|
m1R2
2
|
w1z2 + |
1
2
|
m1(VBx2+VBy2). |
|
Кинетическая энергия второго тела:
T2 = |
1
2
|
|
4m1R2
12
|
|
Ч
j
|
2
|
+ |
1
2
|
m2(VDx2+VDy2). |
|
Обозначим угловую скорость диска без массы как w3z.
Выпишем граф O ® A ® B. Пройдём его по
спарнику:
VBx = - R w3z - 2R |
Ч
j
|
sinj = 0, |
|
Откуда получаем:
Выпишем граф O ® A ® D ® B.
Пройдём его по дискам:
VBx = - R w3z - Rw3zsinj- Rw1zsinj = 0. |
|
Откуда получаем:
Скорость точки D определим из графа O® A
® D, где A ® D, пройдём по спарнику:
VDx = - Rw3z - R |
Ч
j
|
sinj = R |
Ч
j
|
sinj, |
|
Итак, полная кинетическая энергия системы равна:
T = T1+T2 = |
1
2
|
|
m1R2
2
|
w1z2 + |
1
2
|
m1(VBx2+VBy2)+ |
1
2
|
|
4m1R2
12
|
|
Ч
j
|
2
|
+ |
1
2
|
m2 (VDx2+VDy2). |
|
Или
T = R2 |
Ч
j
|
2
|
(2m1+ |
2
3
|
m2+2m1sinj+m1 cos2 j). |
|
Вычислим обобщённую силу:
Q = |
1
|
(Mw1z - m1 g VBy - m2 gVDy). |
|
Или Q = 2M(1+sinj) - (2m1+m2)gRcosj.
1.90. Оси цилиндров радиуса R соединены спарником. Верхний
цилиндр катится без проскальзывания по пластинке, скользящей по
вертикальной плоскости. Нижний цилиндр находится в зацеплении с
верхним и катится по горизонтальной поверхности. К нижнему
цилиндру массой m1 приложен момент M. Масса пластинки m2.
За обобщенную
координату принять угол поворота спарника j.
Решение
Кинетическая энергия первого тела:
T1 = |
1
2
|
|
m1R2
2
|
w1z2 + |
1
2
|
m1VAx2. |
|
Кинетическая энергия второго тела:
Обозначим угловую скорость диска без массы как w3z.
Выпишем граф O ® A ® B. Пройдём его по
спарнику:
VBx = - R w1z - 2R |
Ч
j
|
sinj = 0, |
|
Откуда получаем:
Выпишем граф O ® A ® D ® B.
Пройдём его по дискам:
VBx = - R w1z - Rw1zsinj- Rw3zsinj = 0 . |
|
Откуда получаем:
Скорость точки А определим из графа O® A:
VAx = - R w1z = 2R |
Ч
j
|
sinj. |
|
Скорость точки C определим из графа B® C:
VCy = VBy+Rw3z = 2R |
Ч
j
|
(1+sinj+cosj). |
|
Итак, полная кинетическая энергия системы равна:
T = T1+T2 = |
1
2
|
|
m1R2
2
|
w1z2 + |
1
2
|
m1 VAx2+ |
1
2
|
m2 VCy2. |
|
Или
T = R2 |
Ч
j
|
2
|
(3m1sin2j+2m2(1+sinj+cosj)2). |
|
Вычислим обобщённую силу:
Q = |
1
|
( - Mw1z - m2 g VCy). |
|
Или Q = 2Msinj- 2m2gR(1+sinj+cosj).
1.91. Оси цилиндров радиуса R соединены спарником.
Верхний цилиндр катится без проскальзывания по боковой грани
параллелепипеда массой m1, скользящего по горизонтальной
плоскости. Нижний цилиндр, вращающийся на неподвижной оси,
находится в зацеплении с верхним. К верхнему цилиндру массой m2
приложен момент M.За обобщенную
координату принять угол поворота спарника j.
Решение
Кинетическая энергия первого тела:
Кинетическая энергия второго тела:
T2 = |
1
2
|
|
m2R2
2
|
w2z2 + |
1
2
|
m2(VBx2+VBy2). |
|
Выпишем граф O® B. Пройдём его по спарнику:
Выпишем граф B ® C:
Откуда получаем:
Итак, полная кинетическая энергия системы равна:
T = T1+T2 = |
1
2
|
m1VCx2+ |
1
2
|
|
m2R2
2
|
w2z2 + |
1
2
|
m2 (VBx2+VBy2). |
|
Или
T = R2 |
Ч
j
|
2
|
(2m2+2m1sin2j+m2cos2j). |
|
Вычислим обобщённую
силу:
Или
Q = - 2Mcosj - 2m2gRcosj. |
|
1.92. Оси цилиндров радиуса R соединены спарником. Верхний
цилиндр катится без проскальзывания по боковой грани
параллелепипеда массой m1, скользящего по горизонтальной
плоскости. Нижний цилиндр находится в зацеплении с верхним и
катится по горизонтальной плоскости. К нижнему цилиндру массой
m2 приложен момент M. За
обобщенную координату принять угол поворота спарника j.
Решение
Кинетическая энергия первого тела:
Кинетическая энергия второго тела:
T2 = |
1
2
|
|
m2R2
2
|
w2z2 + |
1
2
|
m2VAx2 |
|
Обозначим угловую скорость диска без массы как w3z.
Выпишем граф O ® A ® B ® C.
Пройдём его по спарнику:
VCx = - Rw2z - 2R |
Ч
j
|
sinj, |
|
VCy = 2R |
Ч
j
|
cosj+Rw3z = 0. |
|
Откуда получаем:
Пройдём тот же граф по дискам:
VCy = Rw2zcosj+Rw3zcosj+Rw3z = 0 |
|
Откуда получаем:
VCx = - 2R |
Ч
j
|
(1+sinj+cosj) |
|
Скорость точки А определим из графа O® A:
VAx = - R w2z = - 2R |
Ч
j
|
(1+cosj) |
|
Итак, полная кинетическая энергия системы равна:
T = T1+T2 = |
1
2
|
m1VCx2+ |
1
2
|
|
m2R2
2
|
w2z2 + |
1
2
|
m2 VAx2 |
|
Или
T = R2 |
Ч
j
|
2
|
(2m1(1+sinj+cosj)2+3m2(1+cosj)2) |
|
Вычислим обобщённую силу:
Или Q = - 2M(1+cosj).
|